Question

对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，n=1，2，3，…．满足f_n（x）=x的点称为f的n阶周期点．设f（x）=

2x，0≤x≤ 1 2 2-2x， 1 2 ＜x≤1

 则f的2阶周期点的个数是

4

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，再求2阶周期点的个数．

解答：解：当x∈[0，

1

2

]时，f₁（x）=2x=x，解得x=0
当x∈（

1

2

，1]时，f₁（x）=2-2x=x，解得x=

2

3

，
∴f的1阶周期点的个数是2；
当x∈[0，

1

4

]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x，解得x=0；
当x∈（

1

4

，

1

2

]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x，解得x=

2

5

；
当x∈（

1

2

，

3

4

]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x，解得x=

2

3

；
当x∈（

3

4

，1]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x，解得x=

4

5

．
∴f的2阶周期点的个数是2²=4．
故答案为：4．

点评：本题考查函数的2阶周期点的个数的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的灵活运用．