Question

（2013•宿迁一模）已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{an2}的前n项和为T_n，且(Sn-2)2+3Tn=4，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}是等比数列，并写出通项公式；
（2）若Sn2-λTn＜0对n∈N^*恒成立，求λ的最小值；
（3）若an，2xan+1，2yan+2成等差数列，求正整数x，y的值．

Answer 1

分析：（1）因为(Sn-2)2+3Tn=4，且a_n＞0，所以推出a₁=1，a2=

1

2

；由(Sn-2)2+3Tn=4，知(Sn+1-2)2+3Tn+1=4，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）得Sn=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2[1-(

1

2

)n]，Tn=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4

3

[1-(

1

4

)n]，由此能求出λ的最小值．
（3）若an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x，y为正整数，则

1

2n-1

，

2x

2n

，

2y

2n+1

成等差数列，整理，得2^x=1+2^y-2，由此能求出正整数x，y的值．

解答：解：（1）因为(Sn-2)2+3Tn=4，
其中S_n是数列{a_n}的前n项和，T_n是数列{

a

2 n

}的前n项和，且a_n＞0，
当n=1时，由(a1-2)2+3a12=4，
解得a₁=1，…（2分）
当n=2时，由(1+a2-2)2+3(1+a22)=4，
解得a2=

1

2

； …（4分）
由(Sn-2)2+3Tn=4，
知(Sn+1-2)2+3Tn+1=4，
两式相减得(Sn+1-Sn)(Sn+1+Sn-4)+3

a

2 n+1

=0，
即(Sn+1+Sn-4)+3

a

n+1

=0，…（5分）
亦即2S_n+1-S_n=2，从而2S_n-S_n-1=2，（n≥2），
再次相减得an+1=

1

2

an，(n≥2)，又a2=

1

2

a1，
所以

an+1

an

=

1

2

，(n≥1)
所以数列{a_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，…（7分）
其通项公式为an=

1

2n-1

，n∈N^*．…（8分）
（2）由（1）可得Sn=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2[1-(

1

2

)n]，
首项为1，{a_n²}是一个公比为

1

4

的等比数列，
Tn=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4

3

[1-(

1

4

)n]，…（10分）
若Sn2-λTn＜0对n∈N^*恒成立，
只需λ＞

Sn2

Tn

=3×

1-( 1 2 )n

1+( 1 2 )n

=3-

6

2n+1

对n∈N^*恒成立，
∵3-

6

2n+1

＜3对n∈N^*恒成立，∴λ≥3．
（3）若an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x，y为正整数，
则

1

2n-1

，

2x

2n

，

2y

2n+1

成等差数列，
整理，得2^x=1+2^y-2，
当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1，
等式不能成立，
∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2．

点评：本题考查等比数列的证明和数列的通项公式的求法，考查最小值的求法，考查满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．