Question

1．设椭圆C$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，l是右准线，若椭圆上存在一点P使得PF₁是P到直线l的距离的3倍，则椭圆的离心率的取值范围是[$\sqrt{7}$-2，1）．

Answer 1

分析 方法一：设P到直线l的距离m，由椭圆的第二定义可知：丨PF₂丨=me，根据椭圆的定义可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，即可求得m的值，由$\frac{{a}^{2}}{c}$-a＜$\frac{2a}{3+e}$＜$\frac{{a}^{2}}{c}$+a，由0＜e＜1，即可求得椭圆的离心率的取值范围；
方法二：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得：$\frac{丨P{F}_{2}丨}{d}$=e=$\frac{c}{a}$，|PF₁|=3d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，则|PF₁|=2a-|PF₂|=2a-$\frac{dc}{a}$=3d，即d=$\frac{2{a}^{2}}{3a+c}$，由a-c≤$\frac{6{a}^{2}}{3a+c}$≤a+c，即可求得椭圆的离心率的取值范围．

解答 解：方法一：设P到直线l的距离m，则丨PF₁丨=3m，由椭圆的第二定义可知：丨PF₂丨=me，
由椭圆的定义可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，即m（3+e）=2a，
则m=$\frac{2a}{3+e}$，
由P到l的距离的范围为[$\frac{{a}^{2}}{c}$-a，$\frac{{a}^{2}}{c}$+a]，
∴$\frac{{a}^{2}}{c}$-a＜$\frac{2a}{3+e}$＜$\frac{{a}^{2}}{c}$+a，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，整理得：e²+4e-3＞0
解得：e＞-2+$\sqrt{7}$，或e＜-2-$\sqrt{7}$，
由0＜e＜1，
∴椭圆的离心率的取值范围[$\sqrt{7}$-2，1），
故答案为：[$\sqrt{7}$-2，1）．
方法二：设P到直线l的距离为d，
根据椭圆的第二定义得：$\frac{丨P{F}_{2}丨}{d}$=e=$\frac{c}{a}$，|PF₁|=3d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，
则|PF₁|=2a-|PF₂|=2a-$\frac{dc}{a}$=3d，即d=$\frac{2{a}^{2}}{3a+c}$，
而|PF₁|∈[a-c，a+c]，即3d=$\frac{6{a}^{2}}{3a+c}$，
∴a-c≤$\frac{6{a}^{2}}{3a+c}$≤a+c，
由3a²+2ac+c²≥0，即e+2e+3≥0，对任意e恒成立；，
由3a²-4ac-c²≤0，即e²-4e-3≥0，解得：e＞-2+$\sqrt{7}$，或e＜-2-$\sqrt{7}$，
由0＜e＜1，
∴椭圆的离心率的取值范围[$\sqrt{7}$-2，1），
故答案为：[$\sqrt{7}$-2，1）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的第二定义及准线方程的应用，考查椭圆的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．