Question

设p是质数，且p²+71的不同正因数的个数不超过10个，求p

Answer 1

解析：  当p=2时，p²+71=75=5²×3，此时共有正因数(2+1)(1+1)=6个，故p=2

  满足要求．当p=3时，p²+71=80=2⁴×5，此时共有正因数(4+1)(1+1)=10个，故p=3

  满足条件．   

    当p>3时，p²+71=p²-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p必为3k±1型的奇数

  p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数.所以，(p―1)(p+1)是24的倍数，

  从而p²+71是24的倍数．  

    设p²+71=24×m，m≥4．

  若m有不同于2、3的质因数，则，p²+71的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0；

  若m中含有质因数3，则，p²+71的正因数个数≥(3+1)(2+1)>10；

  若m中仅含有质因数2，则p²+71的正因数个数≥(5+1) (1+1)>10；

  所以，p>3不满足条件．综上所述，所求得的质数p是2或3.