Question

已知函书f（x）=2x²+k|x-1|（k∈R）
（1）若k=-1，求方程f（x）=4的实数解；
（2）若k=6，求函数f（x）的单调区间
（3）若f（x）的最小值是f（1）=2，求k的范围．

Answer 1

解：（1）若k=-1，则方程f（x）=4即为：2x²-|x-1|=4
当x≥1时，方程可化为（x+1）（2x-3）=0，∴；
当x＜1时，方程可化为2x²+x-5=0，∴
（2）若k=6，则函数f（x）=2x²+6|x-1|=
∵，∴函数在[1，+∞）上为单调增函数；
∵，∴函数在（-∞，1）上为单调减函数；
∴k=6时，函数的单调减区间为（-∞，1），函数的单调增区间为[1，+∞）
（3）由（2）分析知，函数在（-∞，1）上为单调减函数；函数在[1，+∞）上为单调增函数
∵f（x）=2x²+k|x-1|=
∴且
∴k≥4
分析：（1）若k=-1，则方程f（x）=4即为：2x²-|x-1|=4，再将绝对值符号化去，分类讨论，解方程即可；
（2）若k=6，将函数化简，f（x）=2x²+6|x-1|=，分别利用配方法，即可得到函数的单调减区间为（-∞，1），函数的单调增区间为[1，+∞）；
（3）由（2）分析知，函数在（-∞，1）上为单调减函数；函数在[1，+∞）上为单调增函数，将函数化简f（x）=2x²+k|x-1|=，根据函数的单调性可得且，从而可求k的范围．
点评：本题以二次函数为载体，考查方程的解，函数的单调区间，考查解不等式，解题的关键是利用零点将绝对值符号化去，从而利用二次函数的性质解题．