Question

如图，已知SA，SB，SC是由一点S引出的不共面的三条射线，∠ASC=∠ASB=45°，∠BSC=60°，∠SAB=90°，求证：AB⊥SC．

Answer 1

分析：首先设SC=a，SA=b，再由已知条件及余弦定理表示出AB、AC、BC，进而通过AB、AC、BC间的等量关系证得AB⊥AC的结论，进一步证得AB⊥平面SAC，最后证得AB⊥SC．

解答：证明：设SC=a，SA=b，则AB=b，SB=

2

b．
又AC²=a²+b²-2abcos45^°=a²+b²-

2

ab
BC²=a²+(

2

b)2-2

2

bacos60^°=a²+2b²-

2

ab．
∴AB²+AC²=b²+a²+b²-

2

ab=a²+2b²-

2

ab=BC²
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC．
又AB⊥SA，且AC∩SA=A，
∴AB⊥平面SAC，
又SC?平面SAC，
∴AB⊥SC．

点评：本题主要考查线面垂直的判定、性质及余弦定理．