Question

13．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．
（I）判断并证明f（x）的奇偶性；
（II）若函数F（x）=f（x）-$\frac{3-{2}^{x}}{k}$-1在[-1，1]有零点，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意a∈[1，3]，不等式f（a²-2algm）+f（2a²-1）＞0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）f（x）的定义域为R，利用奇函数的定义证明f（x）的奇偶性；
（II）若函数F（x）=f（x）-$\frac{3-{2}^{x}}{k}$-1在[-1，1]有零点，$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{3-{2}^{x}}{k}$-1=0在[-1，1]有解，分离参数，即可求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意a∈[1，3]，不等式f（a²-2algm）+f（2a²-1）＞0，则对于任意a∈[1，3]，a²-2algm＞1-2a²，lgm＜$\frac{1}{2}$（3a-$\frac{1}{a}$），求出右边的最小值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（I）f（x）的定义域为R，则：
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
∴函数是奇函数；
（II）若函数F（x）=f（x）-$\frac{3-{2}^{x}}{k}$-1在[-1，1]有零点，则$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{3-{2}^{x}}{k}$-1=0在[-1，1]有解，
∴k=$\frac{1}{2}$（2^x-3）（2^x+1）=$\frac{1}{2}$（2^x-1）²-2，
∵-1≤x≤1，∴$\frac{1}{2}$≤2^x≤2，
∴-2≤k≤-$\frac{3}{2}$；
（Ⅲ）f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是R上的增函数，
若对于任意a∈[1，3]，不等式f（a²-2algm）+f（2a²-1）＞0，
则对于任意a∈[1，3]，a²-2algm＞1-2a²，
∴lgm＜$\frac{1}{2}$（3a-$\frac{1}{a}$）
∵y=3a-$\frac{1}{a}$在[1，3]上单调递增，
∴y_min=1，
∴lgm＜1，
∴0＜m＜10．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数的零点，恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．