Question

设函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=f（x）•f′（x）+[f（x）]²
（Ⅰ）求g（x）的周期和最大值；
（Ⅱ）求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）先求导，再利用倍角公式和两角和的正弦公式即可化为g（x）=Asin（ωx+φ）+K的形式，即可求出其周期及最值；
（2）利用正弦函数的单调性即可求出其单调递增区间．

解答：解：（1）∵f^′（x）=cosx-sinx，
∴g（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）+（sinx+cosx）²=cos2x+sin2x+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1．
∴T=

2π

2

=π．
当2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，即x=kπ+

π

8

（k∈Z）时，sin(2x+

π

4

)取得最大值1，
此时，函数g（x）取得最大值

2

+1．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ 解得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ(k∈Z)，
∴函数g（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．

点评：熟练掌握导数的运算法则、三角函数的倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的图象和性质是解题的关键．