Question

已知ab≠0，求证:a+b=1的充要条件是a³+b³+ab－a²－b²＝0.

Answer 1

证明：先证必要性成立：?

∵a+b=1,即b=1－a,?

∴a³+b³+ab－a²－b²?

＝a³+（1－a）³+a（1－a）－a²－（1－a）²?

＝a³+1－3a+3a²－a³+a－a²－a²－1+2a－a²＝0.?

再证充分性成立：?

∵a³+b³+ab－a²－b²＝0,?

即(a+b)(a²－ab+b²)－（a²－ab+b²)＝0,?

∴（a+b－1）(a²－ab+b²)＝0.?

由ab≠0，即a≠0且b≠0,?

∴a²－ab+b²=（a－)²+≠0.?

∴只有a+b－1=0,即有a+b=1.?

综上可知，当ab≠0时，a+b=1的充要条件是a³+b³+ab－a²－b²＝0.?

点评：证明充要条件，需要证明原命题和其逆命题都成立,但要分清必要性、充分性分别是什么命题.