Question

（本题12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且  

（I）求椭圆C₁的方程；  （II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C₁上，顶点B、D在直线上，求直线AC的方程。

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）直线AC的方程为

【解析】

试题分析：（I）设由抛物线定义，

，  M点C₁上，

舍去.

椭圆C₁的方程为

（II）为菱形，，设直线AC的方程为 在椭圆C₁上，设，则

的中点坐标为，由ABCD为菱形可知，点在直线BD：上，∴直线AC的方程为

考点：本题主要考查抛物线的定义，椭圆标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系。

点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时，主要运用了抛物线的定义及椭圆的几何性质。为求直线AC的方程，本题利利用了待定系数法，通过联立方程组，应用韦达定理，确定了AC、BD的中点坐标，代人已知方程，得到“待定系数”，达到了解题目的。