Question

（2013•泰安一模）设奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，f（-1）=-1．若函数f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立，则当a∈[-1，1]时，t的取值范围是（　　）

• A．-2≤t≤2
• B．-

  1

  2

  ≤t≤

  1

  2

• C．t≤-2或t=0或t≥2
• D．t≤-

  1

  2

  或t=0或t≥

  1

  2

Answer 1

分析：要使函数f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立，只需要f（x）的最大值小于等于t²-2at+1，再变换主元，构建函数，可得不等式，从而可求t的取值范围．

解答：解：∵奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，f（-1）=-1
∴x=1时，函数有最大值f（1）=1
若函数f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立，
∴1≤t²-2at+1
∴2at-t²≤0，
设g（a）=2at-t²（-1≤a≤1），
欲使2at-t²≤0恒成立，则

g(-1)≤0 g(1)≤0

∴

-2t-t2≤0 2t-t2≤0

∴t≤-2或t=0或t≥2
故选C．

点评：本题考查函数的奇偶性，单调性与最值，考查恒成立问题，考查变换主元的思想，利用最值解决恒成立问题时我们解决这类问题的常用方法．