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    设G为△ABC的重心，
    		3
    |BC|
    GA
    +2|CA|
    GB
    +2
    		3
    |AB|
    GC
    =
    0
    ，则
    AB
    •
    BC
    BC
    •
    AC
    的值=
    -
    1
    3
    -
    1
    3
    ．
    分析：欲求
    AB
    •
    BC
    BC
    •
    AC
    的值，由于
    AB
    •
    BC
    BC
    •
    AC
    =
    -c•cosB
    bcosC
    ，故须求出三角形的内角及边的比值，设出三角形的三边分别为a，b，c，根据由G为三角形的重心，根据中线的性质及向量的加法法则分别表示出
    GA
    ，
    GC
    和
    GB
    ，代入化简后的式子中，然后又根据
    CA
    等于
    CB
    加
    BA
    ，把上式进行化简，最后得到关于
    BA
    和
    BC
    的关系式，由
    BA
    和
    BC
    为非零向量，得到两向量前的系数等于0，列出关于a，b及c的方程组，不妨令b=
    		3
    ，，即可求出a与b的值，然后根据余弦定理表示出cosB，把a，b，c的值代入即可求出cosB的值，同理求得cosC即得．
    解答：解：因为
    		3
    |BC|
    GA
    +2|CA|
    GB
    +2
    		3
    |AB|
    GC
    =
    0

    设三角形的边长顺次为a，b，c，根据正弦定理得：
    		3
    a
    GA
    +2b
    GB
    +2
    		3
    c
    GC
    =
    0
    ，
    由点G为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：
    3
    GA
    =
    BA
    +
    CA
    ，3
    GB
    =
    CB
    +
    AB
    ，3
    GC
    =
    AC
    +
    BC
    ，
    代入上式得：
    		3
    a（
    BA
    +
    CA
    ）+2b（
    AB
    +
    CB
    ）+2
    		3
    c（
    AC
    +
    BC
    ）=
    0
    ，
    又
    CA
    =
    CB
    +
    BA
    ，上式可化为：
    		3
    a（2
    BA
    +
    CB
    ）+2b（
    AB
    +
    CB
    ）+2
    		3
    c（-
    BA
    +2
    BC
    ）=
    0
    ，
    即（2
    		3
    a-2b-2
    		3
    c）
    BA
    +（-
    		3
    a-2b+4
    		3
    c）
    BC
    =
    0
    ，
    则有
    2
    		3
    a-2b-2
    		3
    c=0① 
    -
    		3
    a-2b+4
    		3
    c=0② 
    ，令b=
    		3
    ，解得：
    a=2
    c=1
    ，
    所以cosB=
    a2+c2-b2
    2ac
    =
    22+12-
    		3
    2
    2×2×1
    =
    1
    2
    ，
    cosC=
    a2+b2-c2
    2ab
    =
    22+
    		3
    2    -12
    2×2×
    		3
    =
    		3
    2
    ，
    ∴
    AB
    •
    BC
    BC
    •
    AC
    =
    |
    AB
    |•
    |BC
    |cos(π-B)
    |
    BC
    |•|
    AC
    |cosC
    =
    -c•cosB
    bcosC
    =
    -1•
    1
    2
    		3
    ×
    		3
    2
    =-
    1
    3

    故答案为：-
    1
    3
    点评：此题考查学生灵活运用向量在几何中的应用、余弦定理化简求值，掌握向量的加法法则及中线的性质，是一道中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设G为△ABC的重心，O为平面ABC外任意一点，若
    OA
    +
    OB
    +
    OC
    =m
    OG
    ，则m=
    3
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交△ABC的两边AB、AC于P、Q，已知
    AP
    =λ
    AB
    ，
    AQ
    =μ
    AC
    ，△ABC和△APQ的面积分别为S、T．
    （1）求证：
    1
    λ
    +
    1
    μ
    =3；
    （2）求
    T
    S
    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设G为△ABC的重心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若35a
    GA
    +21b
    GB
    +15c
    GC
    =0    ，则sin∠ACB=
    		3
    2
    		3
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设G为△ABC的重心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若35a
    GA
    +21b
    GB+
    15c
    GC
    =0    ，则sin∠ABC
    5
    		3
    14
    5
    		3
    14
    ．

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