Question

一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，在y=x上截得的弦长为2

7

．
（1）求此圆的方程．
（2）设M（x，y）是此圆上一点，O为坐标原点，求直线OM的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由圆心坐标为（a，b），半径为r，设出圆的标准方程，根据圆与y轴相切，得到圆的半径等于圆心横坐标的绝对值，把圆心坐标代入直线x-3y=0，得到关于a与b的方程，再由垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径构成的直角三角形，利用勾股定理表示出一个关系式，三者联立即可求出a，b及r的值，从而确定出圆的方程；
（2）根据直线OM过原点，设斜率为k，写出直线OM的方程，代入第一问求出的圆的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，令根的判别式大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．

解答：解：（1）设所求圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
则

r=|a| a-3b=0 ( |a-b| 2 )2+( 7 )2=r2

，解得

a=3 b=1 r=3

或

a=-3 b=-1 r=3

．（4分）
所以，所求圆的方程为（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．（6分）
（2）设直线OM方程为y=kx，代入所求出的圆的方程，
整理得（1+k²）x²-（6+2k）x+1=0或（1+k²）x²+（6+2k）x+1=0，
由判别式△≥0，解得k≥-

4

3

．（10分）

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，要求学生掌握垂径定理，勾股定理及方程有解时根的判别式大于等于0这个结论，会利用待定系数法求圆的方程．