Question

有幂函数y＝x^α(α≠0)若干个，每个函数至少具有下面三条性质之一：①是奇函数；②是(－∞，＋∞)内的增函数；③函数的图象经过原点，又已知同时具有性质①的共有15个，具有性质②的共有12个，具有性质③的共有18个，试问这些幂函数共有几个？其中幂指数小于零的有几个？

Answer 1

答案：
解析：

解：设这些幂函数中分别具备性质①、②、③的函数分别组成集合A、B、C．而幂指数小于零的全体构成集合D．依题意有Card(A)＝15，Card(B)＝12，Card(C)＝18，又由幂函数的性质知在R内是增函数一定是奇函数，且图象一定经过原点；又若一个函数是奇函数，且图象又经过原点的幂函数一定是在R上的增函数． 　　∴BA，BC，A∩CB，BA∩C． 　　∴A∩C＝B． 　　则Card(A∪B∪C)＝Card(A∪C)＝Card(A)＋Card(C)－Card(A∩C) 　　＝Card(A)＋Card(C)－Card(B)＝15＋18－12＝21， 　　即共有幂函数21个． 　　又幂指数小于零的幂函数图象一定不经过原点，反之亦然，故其中幂指数小于零的函数有21－18＝3个． 　　思路分析：由题意可以把分别具备性质①、②、③的函数分别组成集合A、B、C，能用集合的相关运算解决．