Question

设函数f（x）=kx²-kx-6+k．
（1）若对于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．
（2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据对于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，变更主元k（x²-x+1）-6=g（k），可得

g(2)=2x2-2x-4＜0 g(-2)=-2x2+2x-8＜0

，解此不等式组即可求得结果；
（2）法1：要使f（x）=k（x²-x+1）-6＜0在x∈[1，2]上恒成立，则只须k＜

6

x2-x+1

在x∈[1，2]上恒成立；求得

6

x2-x+1

的最小值即可；
法2：配方，分类讨论∴

k＞0 f(x)max=f(2)=3k-6＜0

或

k＜0 f(x)max=f(1)=k-6＜0

或

k=0 f(x)=-6＜0

，即可求得结果．

解答：解：（1）设f（x）=k（x²-x+1）-6=g（k），
则g（k）是关于k的一次函数，且一次项系数为x²-x+1…（2分）
法1、∵x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

＞0∴g（k）在[-2，2]上递增．…（4分）
∴g（k）＜0?g（2）=2（x²-x+1）-6＜0∴解得x的取值范围为：-1＜x＜2…（6分）
法2、依题只须

g(2)=2x2-2x-4＜0 g(-2)=-2x2+2x-8＜0

?

-1＜x＜2 x2-x+4＞0(恒成立)

∴-1＜x＜2
（2）法1、要使f（x）=k（x²-x+1）-6＜0在x∈[1，2]上恒成立
则只须k＜

6

x2-x+1

在x∈[1，2]上恒成立；…（8分）
而当x∈[1，2]时：

6

x2-x+1

=

6

(x- 1 2 )2+ 3 4

≥

6

22-2+1

=2…（10分）
∴k＜2…（12分）
法2、∵f(x)=k(x-

1

2

)2+

3

4

k-6＜0在x∈[1，2]上恒成立
∴

k＞0 f(x)max=f(2)=3k-6＜0

或

k＜0 f(x)max=f(1)=k-6＜0

或

k=0 f(x)=-6＜0

综上解得：k＜2

点评：本题考查二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与x轴无交点的特点进行求解．主要考查了二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．属中档题．