Question

一个圆圆心为椭圆右焦点，且该圆过椭圆中心，交椭圆于P，直线PF₁（F₁为该椭圆左焦点）是此圆切线，则椭圆离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据题意和椭圆定义可知根据椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，所以|PF₂|=2a-c；利用特殊三角形可得：，进而建立等式求得e．
解答：解：设F₂为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF₁（F₁为椭圆的左焦点）是该圆的切线，
所以点P是切点，所以PF₂=c并且PF₁⊥PF₂．
又因为F₁F₂=2c，所以∠PF₁F₂=30°，所以 ．
根据椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
所以|PF₂|=2a-c．
所以2a-c=，所以e=．
故答案为：．
点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、直线与圆的相切、椭圆的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．