Question

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，焦点到相应的准线的距离以及离心率均为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且＝λ．

（1）求椭圆方程；

（2）若＋λ＝4，求m的取值范围．

Answer 1

解析：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c²＝a²－b²，

由条件知－c＝＝，＝，…………………… 2分

∴a＝1，b＝c＝，             …………………… 4分

故C的方程为：y²＋＝1　        

（2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，

∴λ＋1＝4　　λ＝3　                             …………………… 6分

设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　                      …………………… 8分

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　

m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，…………………… 10分

由（*）式得k²>2m²－2

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－或<m<1

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）　…………………… 12分