Question

(07年广东卷) (14分)在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

  (1)求圆的方程；

  (2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解析：(1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)²+(y-n)²=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

=2        即=4       ①   

又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得

m²+n²=8           ②

联立方程①和②组成方程组解得

故圆的方程为(x+2)²+(y-2)²=8

(2)=5，∴a²=25，则椭圆的方程为

其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。

要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以

转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)²+y²=8与(1)所求的圆的交点数。

通过联立两圆的方程解得x=，y=

即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。