Question

【题目】在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

由三角形全等可得∠ABD＝∠ACD＝90°，故而AD为棱锥外接球的直径，根据勾股定理得出AD关于AB的函数，求出AD的最小值即可得出答案．

∵AB＝AC，DB＝DC，AD为公共边，

∴△ABD≌△ACD，

又AB⊥BD，即∠ABD＝90°，∴∠ACD＝90°，

设AD的中点为O，则OA＝OB＝OD＝OC，

∴O为棱锥A﹣BCD的外接球的球心．

∵AB+BD＝4，∴AD2＝AB2+（4﹣AB）2＝2AB2﹣8AB+16＝2（AB﹣2）2+8，

∴当AB＝2时，AD2取得最小值8，即AD的最小值为2，

∴棱锥外接球的最小半径为AD，

∴外接球的最小体积为V．

故选：C．