Question

1．已知A、B、C是球O的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，且棱锥O-ABC的体积为$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，则球O的表面积为48π．

Answer 1

分析 求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积．

解答 解：三棱锥O-ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=2，BC=4，∠ABC=60°，AC=2$\sqrt{3}$，外接圆的半径为：GA=2，
△ABC的外接圆的圆心为G，则OG⊥⊙G，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，三棱锥O-ABC的体积为$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$S_△ABC•OG=$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，即$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×OG$=$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，
∴OG=2$\sqrt{2}$，
球的半径为：$\sqrt{4+8}$=2$\sqrt{3}$．
球的表面积：4π×12=48π．
故答案为：48π．

点评 本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．