Question

设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足三点的圆与直线相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过右焦点作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P（m，0），求实数m的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）连接，因为，可得 (1)

又因为的外接圆与直线相切，所以有 (1)

解由(1)(2)组成的方程组可得椭圆的标准方程.

（2）由（1）椭圆的标准方程是,所以,设直线的方程为：，.由方程组：消去得,由韦达定理求出

的表达式,写出线段MN的垂直平分线的方程,并求出的表达式,进而用函数的方法求其取值范围,要注意直线斜率不存在及斜率为0情况的讨论.

【解析】
（1）连接，因为，，所以，

即，则，. 3分

的外接圆圆心为，半径 4分

由已知圆心到直线的距离为，所以，解得，所以，，

所求椭圆方程为. 6分

（2）因为，设直线的方程为：，.

联立方程组：，消去得. 7分

则，，

的中点为. 8分

当时，为长轴，中点为原点，则. 9分

当时，垂直平分线方程

令，所以

因为，所以，可得， 12分

综上可得，实数的取值范围是 13分

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、直线与椭圆的位置关系综合问题。