Question

已知a＜2，函数f（x）=（x²+ax+a）e^x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的极大值是6e^-1，求a的值．

Answer 1

解：（1）当a=1时，f（x）=（x²+x+1）e^x，
∴f^′（x）=（x²+3x+2）e^x=（x+1）（x+2）e^x，
由f^′（x）≥0，得x²+3x+2≥0，解得x≥-1或x≤-2．
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-2]∪[-1，+∞）．
（2）f^′（x）=[x²+（a+2）x+2a]e^x，
由f^′（x）=0，解得x=-2或x=-a．
∵a＜2，∴-a＞-2．列表如下：
由表格可知：当x=-2时，函数f（x）求得极大值，且f（-2）=（4-a）e^-2．
∴（4-a）e^-2=6e^-1，解得a=4-6e．
∴a的值是4-6e．
分析：（1）通过求导，利用f^′（x）≥0即可得出；
（2）先求出f^′（x），得出其单调区间，列出表格，即可得出a的值．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值等性质是解题的关键．