Question

14．已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点O₁．圆柱的底面中心为O，则∠OAB=60°，可得a=O₁A$\frac{OA}{cos6{0}^{°}}$，b=$\frac{1}{2}CD$=4，可得$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，即可得出．．

解答 解：如图所示，
设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点O₁．
圆柱的底面中心为O，
则∠OAB=60°，
可得a=O₁A$\frac{OA}{cos6{0}^{°}}$=8，
b=$\frac{1}{2}CD$=4，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$4\sqrt{3}$．
∴这个椭圆的离心率=$\frac{c}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了二面角的平面角、圆柱的性质、椭圆的离心率、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．