Question

（本小题满分13分）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线相交于坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若Q是双曲线C上的任一点，F₁、F₂分别是双曲线C的左、右焦点，从点F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.

（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过点M（－2，0）和线段AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围

Answer 1

解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0

∵该直线与圆 相切，

∴双曲线C的两条渐近线方程为  ……………………………………………2分

故设双曲线C的方程为，又∵双曲线C的一个焦点为

∴，∴双曲线C的方程为  ……………………………4分

（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT|=|QF₁|

若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使|QT|=|QF₁| 

根据双曲线的定义|TF₂|=2，所以点T在以F₂为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是  ① ………………………………………6分

由于点N是线段F₁T的中点，设N（x，y），T（）

则 

代入①并整理得点N的轨迹方程为  …………………8分

（3）由 

令

直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 上有两个不等实根.

因此 

又AB中点为

∴直线L的方程为  ……………………………………10分

令x=0，得

∵  ∴ 

∴故b的取值范围是   …………………………………………13分