Question

已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设，若g（x）＞0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知得，∴
又f（0）=-2∴
∴m=-1，∴f（x）=ln（x+1）-2．
（2）由（1）得
定义域为（-1，+∞），
∴．
∵a≠0
令g'（x）=0得
①当a＞0时，且在区间上g，（x）＞0，
在区上g′（x）＜0．
∴处取得极小值，也是最小值．
∴
由a+a（-lna-2）＞0得．∴．
②当a＜0时，
在区间（-1，+∞）上，g′（x）＜0恒成立．
g（x）在区间（-1，+∞）上单调递减，没有最值
综上得，a的取值范围是．
分析：（1）由题意先求出导函数，再求出f′（1），然后利用函数f（x）的图象过点（0，-2）建立的方程求解即可．
（2）由题意先求出g（x）的解析式，然后找函数在定义域下的最小值，让最小值还大于0，解出a的范围．
点评：此题重点考查了导函数的求导法则，函数在定义域下恒成立等价转化为求函数最小值并让最小值还大于0进而得出答案，在运算中又考查了分类讨论的思想．