Question

定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．
已知无穷等比数列{a_n}的首项、公比均为．
（1）试求无穷等比子数列{a_3k-1}（k∈N^*）各项的和；
（2）是否存在数列{a_n}的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为？若存在，求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列{a_n}的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系．请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论．

Answer 1

解：（1）依条件得：，
∴无穷等比子数列{a_3k-1}的首项为a₂=，公比为，
则无穷等比数列{a_3k-1}各项的和为：；
（2）设此子数列的首项为a₁，公比为q，由条件得：，
则，即 ，
∴
而 ，
则 ，
所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为，
其通项公式为，n∈N^*；
（3）问题：是否存在数列{a_n}的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．
解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为1．设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中a、b、m、n∈N^*且a≠b或m≠n，则，
因为等式左边或为偶数，或为一个分数，而等式右边为两个奇数的乘积，还是一个奇数．
故等式不可能成立，即假设错误，
所以这样的两个子数列不存在．
分析：（1）由已知无穷等比数列{a_n}的首项与公比，得到无穷等比子数列{a_3k-1}的通项公式，得到无穷等比子数列{a_3k-1}的首项与公比，即可求出无穷等比子数列{a_3k-1}各项的和；
（2）存在，理由为：设出子数列的首项与公比，根据题意得到q的范围为，进而求出1-q的范围，得到的范围，令各项的和等于，表示出首项a₁，根据1-q的范围，求出a₁的范围，而根据题意得a₁=（m为正整数），可得a₁及q的值，故满足题意的无穷子数列存在且唯一，根据求出的a₁和q的值，写出其通项公式即可；
（3）根据题意设计问题为：是否存在数列{a_n}的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．不存在，理由是：分别设出这两个子数列的首项、公比分别为和，分别表示出各项的和，根据乘积为1，得到关系式，化简后，根据m，n，a，b为正整数，得到左边可能为偶数或分数，而右边只能为奇数，故等式不可能成立，则这样的两个子数列不存在．
点评：此题考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及无穷数列的各项和公式，同时本题属于新定义及结论探索性问题，这类试题的一般解法是：充分抓住已知条件，找准问题的突破点，由浅入深，多角度、多侧面探寻，联系符合题设的有关知识，合理组合发现新结论，围绕所探究的结论环环相扣，步步逼近发现规律，得出结论．熟练掌握公式及性质是解本题的关键．