Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AC=AA₁，CD⊥AC₁，E、F分别是BB₁、CC₁中点．
（1）证明：平面DEF∥平面ABC；
（2）证明：CD⊥平面AEC₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意易证D为AC₁的中点，进而可得以DF∥AC，DF∥平面ABC，同理可证EF∥平面ABC，由平面与平面平行的判定定理可得；（2）设AB=2，则DF=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=60°，由余弦定理可得DE=，又可得CD=，CE==，故有CD²+DE²=CE²，由勾股定理可得CD⊥DE，又CD⊥AC₁，由线面垂直的判定可得．
解答：（1）证明：由题意可知CA=CC₁，又CD⊥AC₁，
由等腰三角形的性质可知D为AC₁的中点，
又F为CC₁的中点，所以DF∥AC，
又AC?平面ABC，所以DF∥平面ABC，
同理可证：EF∥平面ABC，又DF∩EF=F，
所以平面DEF∥平面ABC；
（2）设AB=2，则DF=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=60°，
由余弦定理可得：DE²=1²+2²=3，∴DE=，
∵CD为直角三角形ACC₁斜边AC₁的中线，
∴CD=，CE==，
所以CD²+DE²=CE²，由勾股定理可得CD⊥DE，
又CD⊥AC₁，AC₁∩DE=D，所以CD⊥平面AEC₁．
点评：本题考查平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，属中档题．