Question

设偶函数f（x）=log_a|x-b|在（-∞，0）上是增函数，则有

1. A.
   f（a+1）≥f（b+2）
2. B.
   f（a+1）＜f（b+2）
3. C.
   f（a+1）≤f（b+2）
4. D.
   f（a+1）＞f（b+2）

Answer 1

D
分析：由已知中偶函数f（x）=log_a|x-b|在（-∞，0）上是增函数，根据偶函数的定义及复合函数单调性“同增异减”的原则，我们可以求出b值及a的范围，进而根据函数的单调性，得到答案．
解答：∵函数f（x）=log_a|x-b|为偶函数
∴f（-x）=f（x）
即log_a|-x-b|=log_a|x-b|
则|-x-b|=|x-b|
故b=0
则f（x）=log_a|x|
u=|x|在区间（-∞，0）上为减函数，在区间（0，+∞）上为增函数，
而函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，
根据复合函数“同增异减”的原则，则函数y=log_au为减函数
则0＜a＜1
则函数f（x）=log_a|x-b|在0，+∞）上是减函数，
则1＜a+1＜2=b+2
故f（a+1）＞f（b+2）
故选D
点评：本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，对数函数的单调性与特殊点，其中根据偶函数及复合函数单调性“同增异减”的原则，求出b值及a的范围，及函数的单调性，是解答本题的关键．