Question

已知S_n为数列{a_n}的前项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…
（Ⅰ）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=a_n•（-1）ⁿ，求数{b_n}的n项和P_n；
（Ⅲ）设c_n=，数列{c_n}的n项和为T_n，求证：Tn＜．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2
∴a_n+1=2a_n-2n+2
∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）
∴{a_n-2n}是以2为公比的等比数列．
（II）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2
∴a_n-2n=2ⁿ，∴an=2ⁿ+2n …5分
当n为偶数时，
P_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（b1+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-（2^n-1+2（n-1）+（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2ⁿ+2×n）
=-+n=•（2ⁿ-1）+n …7分
当n为奇数时，
Pn=--（n+1）…9分
综上，Pn=…10分
（III）c_n==，
当n=1时，T₁=＜；
当n≥时，T_n=+++…+＜+++…+
=+=+-=-＜＜．
综上可知，任意n∈N^*，T_n＜．…14分
分析：（I）将S_n=2a_n+n²-3n-2利用数列中a_n，Sn的关系进行转化构造出新数列{a_n-2n}，再据其性质证明．
（Ⅱ）将（I）中所求的a_n代入bn，分组求和法求和．
（III）由于c_n==，从而得出：当n=1时，T₁=＜；当n≥时，T_n=+++…+＜+++…+利用等比数列的求和公式结合放缩法即可得到证明．
点评：本题考查等比数列的判断、数列求和，转化，计算的能力．