Question

如图，已知椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，椭圆的下顶点为A，点P是椭圆上任意一点，，圆M是以PF₂为直径的圆．
（1）若圆M过原点O，求圆M的方程；
（2）当圆M的面积为时，求PA所在直线的方程；
（3）写出一个定圆的方程，使得无论点P在椭圆的什么位置，该定圆总与圆M相切．请写出你的探究过程．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一；因为PF₂为圆M的直径，圆M过原点O，可以判断OP⊥OF₂，求出P点坐标，又因为M为PF₂的中点，可求出M点坐标，以及圆的半径，代入圆的标准方程即可．
解法二：同解法一，可判断OP⊥OF₂，则，利用向量的数量积的坐标表示即可求出P点的坐标，后面同解法一．
（2）根据圆M的面积为，求出圆半径r，则|PF₂|=r，据此可求出P点坐标，再结合A点坐标，就可得到PA所在直线的方程．
（3）两圆若始终相切，则圆心距等于半径之和，因为圆M的半径为|MF₂|，所以只需找到一点，是M到这点的距离等于|MF₂|加上一个定值即可．
解答：解：（1）解法一：因为圆M过原点O，所以OP⊥OF₂，
所以P是椭圆的端轴顶点，P的坐标是（0，1）或（0，-1），
于是点M的坐标为或，
圆M的方程为或．  
解法二：设P（x₁，y₁），因为圆M过原点O，所以OP⊥OF₂，
所以，所以x₁=0，y₁=±1，点P（0，±1）
于是点M的坐标为或，
圆M的方程为或．   
（2）设圆M的半径为r，由题意，，，所以
设P（x₁，y₁），则．      
联立，解得x₁=1（x₁=3舍去），
所以点或．                      
所以或，
所以直线PA的方程为或
注：直线方程也可写成其他形式，如：与等．
（3）以原点为圆心，为半径的定圆始终与圆M相内切．
定圆的方程为x²+y²=2．                  
探究过程为：设圆M的半径为r，定圆的半径为R，
因为，
所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆M相内切．
点评：本题主要考查了圆的标准方程，以及直线与圆，圆与圆位置关系的判断．