Question

过抛物线y²＝4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点?

Answer 1

解:抛物线y²＝4x的准线与对称轴的交点为(－1，0).设直线MN的方程为y＝k(x＋1).

由得k²x²＋2(k²－2)x＋k²＝0.

∵直线与抛物线交于M、N两点,

∴Δ＝4(k²－2)²－4k⁴＞0,

即k²＜|k²－2|，k²＜1，－1＜k＜1.

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，抛物线焦点为F(1，0).

∵以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点,

∴MF⊥NF.

∴·＝－1,

即y₁y₂＋x₁x₂－(x₁＋x₂)＋1＝0.

又x₁＋x₂＝－,₁x₂＝1,

y₁²y₂²＝16x₁x₂＝16且y₁、y₂同号,∴＝－6.

解得k²＝.∴k＝±,

即直线的倾斜角为arctan或π－arctan时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.