Question

已知O是线段AB外一点，若

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）设点P、Q是线段AB的三等分点，试用向量

a

、

b

表示

OP

+

OQ

；
（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．

Answer 1

分析：（1）由三角形法则及向量共线的数乘表示，分别用向量

a

、

b

表示出

OP

，

OQ

，相加即得用向量

a

、

b

表示

OP

+

OQ

的表达式；
（2）可先对二等分点，四等分点进行探究，归纳得出猜想

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

=

n-1

2

(

a

+

b

)，再数学归纳法证明结论．

解答：解：（1）如图：点P、Q是线段AB的三等分点

OP

=

OA

+

AP

=

OA

+

1

3

(

OB

-

OA

)，
则

OP

=

2

3

a

+

1

3

b

，同理

OQ

=

1

3

a

+

2

3

b

，（2分）
所以

OP

+

OQ

=

a

+

b

（4分）
（2）层次1：设A₁是AB的二等分点，则OA1=

a + b

2

；
设A₁、A₂、A₃是AB的四等分点，则

OA1

+

OA2

+

OA3

=

3( a + b )

2

等等（结论（2分），证明2分）
层次2：设A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分点，则

OAk

+

OAn-k

=

OA

+

OB

等；（结论（2分），证明4分）
层次3：设A₁，A₂．，…，A_n-1是AB的n等分点，
则

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

=

n-1

2

(

a

+

b

)；（结论（3分），证明7分）
证：A₁，A₂，，A_n-1是线段n≥2的Sn-1=

1

4

a

2 n

+

1

2

an-1+

1

4

等分点，先证明这样一个基本结论：

OAk

+

OAn-k

=

OA

+

OB

（1≤k≤n-1，n、k∈N^*）．
由

OAk

=

OA

+

AAk

，

OAn-k

=

OB

+

BAn-k

，
因为

AAk

和

BAn-k

是相反向量，
则

AAk

+

BAn-k

=0，
所以

OAk

+

OAn-k

=

OA

+

OB

．
记S=

OA1

+

OA2

+

OA3

+…+

OAn-2

+

OAn-1

，
S=

OAn-1

+

OAn-2

+…+

OA2

+

OA1

相加得2S=(

OA1

+

OAn-1

)+(

OA2

+

OAn-2

)+…+(

OAn-1

+

OA1

)=(n-1)(

OA

+

OB

)
∴

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

=

n-1

2

(

a

+

b

)

点评：本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则与向量的共线条件，归纳推理的思想，数学归纳法证明方程的方法，本题中先猜想，再用数学归纳法进行证明，难度较大，解题时要注意运算变形时认真、严谨，避免因运算失误导致解题失败．