Question

13．已知点O，A，B，F分别为椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{OP}$，则实数λ的值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{OP}$的坐标，代入$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{OP}$，结合隐含条件求得实数λ的值．

解答 解：如图，

A（-a，0），B（0，b），F（c，0），
则P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∴$\overrightarrow{AB}=（a，b）$，$\overrightarrow{OP}=（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，
由$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{OP}$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=λc}\\{b=λ\frac{{b}^{2}}{a}}\end{array}\right.$，即b=c，
∴a²=b²+c²=2b²，$\frac{a}{b}=\sqrt{2}$．
则$λ=\frac{a}{b}=\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．