Question

已知双曲

x2

9

-

y2

16

=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则

|MF|

|PQ|

的值为（　　）

• A．

  5

  3

• B．

  5

  6

• C．

  5

  4

• D．

  5

  8

Answer 1

分析：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的第二定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．

解答：解：∵双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=1，
∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，
依题意，直线PQ的方程为：y=x-5．
由

y=x-5 x2 9 - y2 16 =1

得：7x²+90x-369=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程7x²+90x-369=0的两根，
∴x₁+x₂=-

90

7

，y₁+y₂=（x₁-5）+（x₂-5）=x₁+x₂-10=-

160

7

，
∴线段PQ的中点N（-

45

7

，-

80

7

），
∴PQ的垂直平分线方程为y+

80

7

=-（x+

45

7

），
令y=0得：x=-

125

7

．又右焦点F（5，0），
∴|MF|=5+

125

7

=

160

7

．①
设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，
∵双曲线的一条渐近线为y=

4

3

x，其斜率k=

4

3

，直线PQ的方程为：y=x-5，其斜率k′=1，
∵k′＜k，
∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，
则由双曲线的第二定义得：

|PF|

|PP′|

=

|PF|

x1- a2 c

=e=

c

a

=

5

3

，
∴|PF|=

5

3

x₁-

5

3

×

32

5

=

5

3

x₁-3，
同理可得|QF|=3-

5

3

x₂；
∴|PQ|=|QF|-|PF|
=3-

5

3

x₂-（

5

3

x₁-3）
=6-

5

3

（x₁+x₂）
=6-

5

3

×（-

90

7

）
=

192

7

．②
∴

|MF|

|PQ|

=

160 7

192 7

=

5

6

．
故选B．

点评：本题考查双曲线的第二定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．