Question

设正等比数列{a_n}的首项a₁=

1

2

．前n项和为S_n，且2¹⁰•S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0．
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求{n-S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知，结合等比数列的求和公式可求公比q，然后可求通项
（2）由（1）可求sn=

1 2 (1-2n)

1-2

=

1

2

(2n-1)，然后利用分组求和，结合等差与等比数列的求和公式即可求解

解答：解：（1）当q=1时，2¹⁰•30a₁-（2¹⁰+1）20a₁+10a₁=0．
a₁=0与已知矛盾
∴q≠1
由2¹⁰•S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0
可得

1 2 (1-q30)

1-q

×2¹⁰-(210+1)•

1 2 (1-q20)

1-q

+

1 2 (1-q10)

1-q

=0
整理解得q=±

1

2

又∵a_n＞0，q＞0且q≠1
∴q=

1

2

，
∴a_n=

1

2

ⁿ
（2）∵S_n=1-

1

2

ⁿ；n-S_n=（n-1）+

1

2

ⁿ
∴T_n=（1+2+…+n-1）+

1 2 (1- 1 2 n)

1- 1 2

=

n(n-1)

2

+1-

1

2

ⁿ

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，体现了分类讨论思想的应用，还考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，分组求和方法的应用