Question

9．已知f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{5π}{6}$），
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin2x，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．
（2）由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，可求2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函数的图象和性质可得f（x）=sin2x∈[-1，1]，从而得解．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{5π}{6}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x
=sin2x，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）=sin2x∈[-1，1]，
∴函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值为1，最小值为-1．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．