Question

设集合A={（x,y）|y=2x-1,x∈N^*},B={(x,y)|y=ax²-ax+a,x∈N^*}，问是否存在非零整数a,使A∩B≠？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

存在a=1,使得A∩B≠,此时A∩B={（1，1），（2，3）}.

假设A∩B≠，则方程组有正整数解，消去y,
得ax²-(a+2)x+a+1="0.                 "                              （*）
由Δ≥0，有（a+2）²-4a(a+1)≥0,解得-.因a为非零整数，∴a=±1，
当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1,而x∈N^*.故a≠-1.当a=1时，代入（*）,
解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A∩B≠,此时A∩B={（1，1），（2，3）}.