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(12分)(1)设xyzR,且xyz=1,求证x2y2z2

(2)设二次函数f (x)=ax2bxca>0),方程f (x)-x=0有两个实根x1x2,

且满足:0<x1x2,若x(0,x1)。

求证:xf (x)<x1

 

【答案】

见解析。

【解析】本试题主要是考查了均值不等式的运用以及二次函数中根与系数的关系的综合运用。

(1)xyz=1,∴1=(xyz)2x2y2z2+2xy+2xz+2yz

≤3(x2y2z2)

从而得证。

(2)令F(x)=f(x)-xx1x2f(x)-x=0的根,

∴F(x)=a(xx1)(xx2)

∵0<xx1x2     ∴xx1<0,xx2<0   a>0

∴F(x)>0   即xf (x)

x1f (x)=x1-[x+F(x)]=x1xa(xx1)(xx2)=(x1x)[1+a(xx2)]

∵0<xx1x2

x1x>0  1+a(xx2)=1+a xax2>1-ax2>0

x1f(x)>0     ∴f(x)<x1

综上可知成立。

解:(1)∵xyz=1,∴1=(xyz)2x2y2z2+2xy+2xz+2yz

≤3(x2y2z2)

x2y2z2

(2)令F(x)=f(x)-xx1x2f(x)-x=0的根,

∴F(x)=a(xx1)(xx2)

∵0<xx1x2     ∴xx1<0,xx2<0   a>0

∴F(x)>0   即xf (x)

另一方面:x1f (x)=x1-[x+F(x)]=x1xa(xx1)(xx2)=(x1x)[1+a(xx2)]

∵0<xx1x2

x1x>0  1+a(xx2)=1+a xax2>1-ax2>0

x1f(x)>0     ∴f(x)<x1

综上可得:xf(x)<x1

 

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