Question

设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则3f（ln2）

＜

2f（ln3）．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）

Answer 1

分析：构造函数g（x）=

f(x)

ex

，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．

解答：解：令g（x）=

f(x)

ex

，则g′(x)=

f′(x)•ex-f(x)•ex

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

，
因为对任意x∈R都有f′（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即

f(ln2)

eln2

＜

f(ln3)

eln3

，
所以

f(ln2)

2

＜

g(ln3)

3

，即3f（ln2）＜2f（ln3），
故答案为：＜．

点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．