Question

已知函数y＝f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，

且f(m＋x)＝f(m－x)．

(1)求证：f(x)的图象关于直线x＝m对称；

(2)若x∈[0，2m](m＞0)时，f(x)＝，

试画出函数y＝(x＋m)的图象．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　对于第(1)小题，仿照原函数图象与其反函数图象关于直线y＝x对称的证法；对第(2)小题，采用平方法将函数转化为圆的标准方程，有助于化生为熟． 　　解答　　(1)设P(x0，y0)是函数y＝f(x)的图象上任意一点，则y0＝f(x0)，设点P关于直线x＝m的对称点为，则的坐标为(2m－x0，y0)，由题设f(x＋m)＝f(m－x)． 　　得f(2m－x0)＝f(m＋m－x0)＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0 　　即说明点(2m－x0，y0)也在函数y＝f(x)的图象上．∵P是函数y＝f(x)的图象上的任意一点， 　　∴y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称． 　　(2)对y＝两边平方，变形得 　　(x－m)2＋y2＝m2(y≥0) 　　这表明当x∈[0，2m]时，f(x)的图象是以点(m，0)为圆心，m为半径的圆的上半部分，将其向左平移m个单位，即得函数y＝f(x＋m)的图象，如图中的实线部分． 　　评析　　将函数式转化为解析几何中的曲线标准方程，有助于我们识别函数的图象，这也是常用的化归技巧．