Question

16．已知斜率为$\frac{1}{2}$的直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于x轴上方的不同两点A、B，记直线OA，OB的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂的取值范围是（2，+∞）．

Answer 1

分析 直线方程为y=$\frac{1}{2}$x+b，即x=2y-2b，代入抛物线y²=2px，可得y²-4py+4pb=0，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求出k₁+k₂的取值范围．

解答 解：设直线方程为y=$\frac{1}{2}$x+b，即x=2y-2b，
代入抛物线y²=2px，可得y²-4py+4pb=0，
△=16p²-16pb＞0，∴p＞b
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得y₁+y₂=4p，y₁y₂=4pb，
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}（2{y}_{2}-2b）+（2{y}_{1}-2b）{y}_{2}}{（2{y}_{1}-2b）（2{y}_{2}-2b）}$=$\frac{16pb-8pb}{16pb-16pb+4{b}^{2}}$=$\frac{2p}{b}$＞2．
故答案为：（2，+∞）．

点评 本题考查斜率的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．