Question

20．已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，a₁=1，2S_n=3a_n-4．
（1）证明：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}+n-1}{{3}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）将n换为n-1，两式相减可得a_n=3a_n-1，即有数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列；
（2）运用等比数列的通项公式和数列求和的方法：分组求和和错位相减法，计算即可得到所求．

解答 解：（1）证明：a₁=1，2S_n=3a_n-4，
即有n＞1时，2S_n-1=3a_n-1-4，
两式相减可得，2a_n=3a_n-3a_n-1，
即为a_n=3a_n-1，
即有数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{{3}^{n-1}+n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}$+（n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
即有T_n=b₁+b₂+…+b_n
令M=0+1•$\frac{1}{9}$+2•$\frac{1}{27}$+…+（n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$M=0+1•$\frac{1}{27}$+2•$\frac{1}{81}$+…+（n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
两式相减得，$\frac{2}{3}$M=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{27}$+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
则M=$\frac{1}{4}$-$\frac{2n+1}{4•{3}^{n}}$，
故T_n=$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{2n+1}{4•{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和：分组求和和错位相减法，属于中档题．