Question

已知函f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示：
（1）求ω，φ的值；
（2）设g（x）=2

2

f（

x

2

）f（

x

2

-

π

8

）-1，当x∈[0，

π

2

]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）通过函数的图象求出函数周期，求出ω，利用f（0）=-1求出φ，得到函数的解析式．
（2）利用（1）的结果求出g（x）的表达式，当x∈[0，

π

2

]时，求出2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，然后求出函数的值域．

解答：解：（1）由图象知：T=4（

π

2

-

π

4

）=π，则：ω=

2π

T

=2，…（2分）
由f（0）=-1得：sinφ=-1，即：φ=kπ-

π

2

 k∈Z，…（4分）
∵|ω|＜π∴φ=-

π

2

．        …（6分）
（2）由（1）知：f（x）=sin（2x-

π

2

）=-cos2x，…（7分）
∴g（x）=2

2

f（x）f（

x

2

-

π

8

）-1=2

2

cosx[

2

2

 (cosx+sinx)]-1
=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），…（10分）
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，则sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴g（x）的值域为[-1，

2

]．…（12分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的图象的求法，三角函数的化简求值，考查计算能力，常考题型．