Question

（09年西城区抽样理）（14分）

 已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.

设f (x)=x²+ax，g(x)=x+b(R)，l(x)= 2x²+3x-1，h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数.

（Ⅰ）设，若h (x)为偶函数，求；

（Ⅱ）设，若h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；

（Ⅲ）试判断h(x)能否为任意的一个二次函数，并证明你的结论.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：设h(x) = m f(x)+ng(x)，

则,

因为为一个二次函数，且为偶函数,

所以二次函数的对称轴为y轴，即，

所以，则，

则；                                            ------------3分

（Ⅱ）解：由题意, 设 (R, 且)

     由h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数,

     知存在使得,

     所以函数,

     则,                                     ------------5分

消去, 得,

    因为, 所以,                                ----------7分

    因为b>0,

    所以  （当且仅当时取等号）,

    故a+b的最小值为.                                  -----------9分

（Ⅲ）结论：函数h(x)不能为任意的一个二次函数.

      以下给出证明过程.

      证明：假设函数h(x)能为任意的一个二次函数,

      那么存在m₁, n₁使得h(x)为二次函数y=x², 记为,

即；            ①

                                                                                                                         

同理，存在m₂, n₂使得h(x)为二次函数,记为,

即.                     ② 

      由②-①，得函数,

      令，化简得对R恒成立,

      即对R恒成立,

      所以, 即，

      显然，与矛盾,

      所以，假设是错误的，

故函数h(x)不能为任意的一个二次函数.                   ---------14分

      注：第（Ⅲ）问还可以举其他反例.