Question

12．已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，（n∈N^*）
（Ⅰ）证明：当n≥2时．a_n²=a_n+1-a_n+1；
（Ⅱ）若正整数m满足a₁a₂a₃…a_m+2016=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_m²，求m的值；
（Ⅲ）令b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$，当n≥2时，求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n≤$\frac{{n}^{2}-n+3}{6}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）易知a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，a_n+1=a₁a₂a₃…a_n-1，（n≥2），作商可得$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=a_n，从而证明；
（Ⅱ）由a_m+1+1=a₁a₂a₃…a_m可得a_m+1+2017=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_m²，由a_n²=a_n+1-a_n+1可得a₁²+a₂²+a₃²+…+a_m²=a₁²+a_m+1-a₂+m-1，从而解得；
（Ⅲ）可求得a₁=3，a₂=a₁-1=2，a₃=a₁a₂-1=2×3-1=5，a₄=a₃²+a_m-1=25+5-1=29，且当n≥4时，a_n≥29；从而利用放缩法证明．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，
∴a_n+1=a₁a₂a₃…a_n-1，（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=a_n，（n≥2），
∴当n≥2时，a_n²=a_n+1-a_n+1；
（Ⅱ）∵a_m+1+1=a₁a₂a₃…a_m，
∴a_m+1+1+2016=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_m²，
即a_m+1+2017=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_m²，
∵a_n²=a_n+1-a_n+1（n≥2），
∴a₂²=a₃-a₂+1，
…
a_m²=a_m+1-a_m+1，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_m²=a₁²+a_m+1-a₂+m-1，
∴a_m+1+2017=a₁²+a_m+1-a₂+m-1，
∴m=2017+1-a₁²+a₂=2011；
（Ⅲ）证明：∵a₁=3，
∴a₂=a₁-1=2，
a₃=a₁a₂-1=2×3-1=5，
a₄=a₃²+a_m-1=25+5-1=29，
a_n+1-a_n=a_n²-1＞0，
故当n≥4时，a_n≥29；
b₁=$\frac{3-1}{3+1}$=$\frac{1}{2}$，
b₂=$\frac{2-1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
b₃=$\frac{5-1}{5+1}$=$\frac{2}{3}$，
b₄=$\frac{29-1}{29+1}$＜1，
b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$＜1，
故b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$+b₄+…+b_n
≤$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$+1+$\frac{4}{3}$+…+$\frac{n-1}{3}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{n（n-1）}{6}$=$\frac{{n}^{2}-n+3}{6}$．

点评 本题考查了数列的性质的应用，同时考查了累加法与放缩法的应用．