Question

已知圆C过点P（1，1），且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）直线l过点Q（1，0.5），截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程；
（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中圆C过点P（1，1），且圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称，我们可以求出圆C的方程，然后判断圆心距CM与两圆半径和与差的关系，即可得到答案．
（2）分直线l的斜率不存在和存在两种情况，根据直线截圆C的弦长等于2，分别求得直线l的方程．
（3）由已知中直线PA和直线PB与x轴分别交于点G、H，且∠PGH=∠PHG，可得直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，设PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），求出A，B坐标后，代入斜率公式，判断直线OP和AB是否相等，即可得到答案．

解答：解：（1）由题意可得点C和点M（-2，-2）关于直线x+y+2=0对称，且圆C和圆M的半径相等，都等于r．
设C（m，n），由

m+2

n+2

•（-1）=-1，且

m-2

2

+

n-2

2

+2=0 求得

m=0 n=0

，
故原C的方程为 x²+y²=r²．
再把点P（1，1）代入圆C的方程，求得r=

2

，故圆的方程为 x²+y²=2．
（2）直线l过点Q（1，0.5），当直线l的斜率不存在时，方程为x=1，截圆C得到的弦长等于2

r2-1

=2，满足条件．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-0.5=k（x-1），即 kx-y+0.5-k=0，则圆心C到直线l的距离d=

|0-0+0.5-k|

k2+1

，
再由弦长公式可得 2=2

r2-d2

，解得k=-

3

4

，故所求的直线方程为-

3

4

x-y+

1

2

+

3

4

=0，即 3x+4y-5=0．
综上可得，直线l的方程为 x=1，或 3x+4y-5=0．
（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，
则得直线OP和AB平行，理由如下：
由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1）．
由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0，
因为P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得x_A=

k2-2k-1

1+k2

．…（12分）
同理，所以x_B=

k2+2k-1

1+k2

，由于AB的斜率k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(yB+yA)

xB-xA

=1=k_OP （OP的斜率），（15分）
所以，直线AB和OP一定平行．

点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式，关于直线对称的圆的方程，圆与圆位置关系及其判定，其中根据已知条件求出圆C的方程是解答本题的关键，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．