Question

如图所示，F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，点A（4，2）为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，|PA|+|PF|的最小值为8．
（1）求抛物线方程；
（2）若O为坐标原点，问是否存在点M，使过点M的动直线与抛物线交于B，C两点，且以BC为直径的圆恰过坐标原点，若存在，求出动点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图，设抛物线的准线为l，过P作PB⊥l于B，过A作AC⊥l于C，由抛物线定义知当且仅当A，P，C三点共线取等号．由题意知|AC|=8，从而求得p值，最后写出抛物线的方程；
（2）假设存在点M，设过点M的直线方程为y=kx+b，对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在点M，设过点M的直线方程为y=kx+b，再利用以BC为直径的圆恰过坐标
原点，求出点M的坐标，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：如图，设抛物线的准线为l，过P作PB⊥l于B，过A作AC⊥l于C，
（1）由抛物线定义知|PF|=|PB|?|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AC|（折线段大于垂线段），当且仅当A，P，C三点共线取等号．由题意知|AC|=8，即4+

p

2

=8?p=8?抛物线的方程为：y²=16x
（2）假设存在点M，设过点M的直线方程为y=kx+b，
显然k≠0，b≠0，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由以BC为直径的圆恰过坐标
原点有

OB

•

OC

=0?x₁x₂+y₁y₂=0①
把y=kx+b代入y²=16x得k²x²+2（bk-8）x+b²=0
由韦达定理

x1+x2=- 2(bk-8) k2 x1x2= b2 k2

．②
又y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+bk（x₁+x₂）+b²．③
②代入③得y1y2=

16b

k

．④
②④代入①得

16b

k

+

b2

k2

=0?b=-16k?动直线方程为y=kx-16k=k（x-16）必过定点（16，0）
当k_BC不存在时，直线x=16交抛物线于B（16，-16），C（16，16），仍然有

OB

•

OC

=0，
综上：存在点M（16，0）满足条件．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．当研究直线与圆锥曲线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．