Question

已知sin(2α+

π

3

)=

6

5

sin(α+

π

6

)，0＜α＜

π

2

，则sinα=

4 3 -3

10

．

Answer 1

分析：由二倍角的正弦公式结合已知可得cos（α+

π

6

）的值，由平方关系可得sin（α+

π

6

）的值，而sinα=sin[（α+

π

6

）-

π

6

]，由两角差的正弦公式展开代入数值可得．

解答：解：由三角函数的公式可得sin(2α+

π

3

)=sin2(α+

π

6

)
=2sin（α+

π

6

）cos（α+

π

6

）=

6

5

sin(α+

π

6

)，
∵0＜α＜

π

2

，∴

π

6

＜α+

π

6

＜

2π

3

，
∴sin（α+

π

6

）≠0，
∴cos（α+

π

6

）=

3

5

，
∴sin（α+

π

6

）=

4

5

，
∵sinα=sin[（α+

π

6

）-

π

6

]
∴sinα=sin[（α+

π

6

）-

π

6

]=

3

2

sin（α+

π

6

）-

1

2

cos（α+

π

6

）
=

3

2

×

4

5

-

1

2

×

3

5

=

4 3 -3

10

．
故答案为：

4 3 -3

10

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数公式，涉及整体的思想，属中档题．