Question

把一根长度为7的铁丝截成3段．
（1）如果三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率；
（2）如果把铁丝截成2、2、3的三段放入一个盒子中，然后有放回地摸4次，设摸到长度为2的次数为ξ，求Eξ与Dξ；
（3）如果截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率．

Answer 1

分析：（1）设构成三角形的事件为A，先求出基本事件数有4种，其中能构成三角形的情况有2种情况，从而可求能构成三角形的概率；
（2）根据题意知随机变量ξ～B(4，

2

3

)，利用Eξ=np，Dξ=np（1-p），可求Eξ与Dξ；
（3）设把铁丝分成任意的三段，其中一段为x，第二段为y，则第三段为7-x-y，所以

x＞0 y＞0 y+x＜7

，如果要构成三角形，则必须满足：

x＞0 y＞0 y+x＞7-x-y x+7-x-y＞y y+7-x-y＞x

，故可求能构成三角形的概率．

解答：解：（1）设构成三角形的事件为A
基本事件数有4种情况：
“1，1，5”；“1，2，4”；“1，3，3”；“2，2，3”（2分）
其中能构成三角形的情况有2种情况：“1，3，3”；“2，2，3”（3分）
则所求的概率是P(A)=

2

4

=

1

2

   （4分）
（2）根据题意知随机变量ξ～B(4，

2

3

)（5分）
∴Eξ=np=4×

2

3

=

8

3

     （6分）
Dξ=np（1-p）=4×

2

3

×

1

3

=

8

9

   （8分）
（3）设把铁丝分成任意的三段，其中一段为x，第二段为y，
则第三段为7-x-y．
∴

x＞0 y＞0 y+x＜7

        （9分）
如果要构成三角形，则必须满足：

x＞0 y＞0 y+x＞7-x-y x+7-x-y＞y y+7-x-y＞x

，
∴

x＞0 y＞0 y+x＞ 7 2 y＜ 7 2 x＜ 7 2

∴能构成三角形的概率为P(A)=

S△MNP

S△OEF

=

1

4

．

点评：本题以实际问题为载体，考查概率知识的运用，解题的关键是分清是古典概型，还是几何概型，从而利用公式求解