Question

【文科生做】已知圆E：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2）设P（x，y）是圆E上任意一点，求x+y的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把直线l的方程变形后，根据直线l恒过定点，得到关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线l恒过的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离d，发现d小于圆的半径，得到此点在圆内，故直线l与圆恒交于两点；
（2）根据圆的参数形式表示出方程（x-1）²+（y-2）²=25，进而表述出x+y，再结合三角函数的最值可求得x+y的取值范围．

解答：解：（1）由m（2x+y-7）+（x+y-4）=0知直线l恒过定点，
又

2x+y=7 x+y=4

⇒

x=3 y=1

，
∴直线l恒过定点A（3，1），且（3-1）²+（1-2）²=5＜25⇒A（3，1）必在圆内，
故直线l与圆恒有两交点．
（2）因为（x-1）²+（y-2）²=25，
令y=2+5sinα，则x=1+5cosα
所以x+y=3+5（sinα+cosα）=5

2

sin（α+

π

4

）+3
∵sin（α+

π

4

）的最小值为-1，最大值为1，
所以x+y的取值范围是：[3-5

2

，3+5

2

]．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，恒过定点的直线方程以及点与圆的位置关系．第一问的关键是求出直线l恒过的A点坐标，判定A在圆内；第二问关键是利用的参数形式进行解题．考查对圆的方程的另一种认识和运用．圆的参数形式有时可以给解题带来很大方便，一定要理解其形式．